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HISTORIA:
Antecedentes históricos señalan que fueron los algebristas babilonios quienes primero estudiaron la resolución de las ecuaciones exponenciales por medio de un tanteo inicial seguido de una interpolación. con estos procedimientos trataron de calcular el tiempo necesario para que una cantidad determinada de dinero se duplicara al ponerla a una tasa dada de interés compuesto....
Sus tablas les indicaban que no todos los números racionales que figuraban en ellas tenían una raíz cuadrada tabulada. Enfrentados a este problema, procedieron a obtener sus valores aproximados por medio de la regla
Dos mil años después, Herón de Alejandría ( s. II a. De C.) deduciría esta misma regla. Resulta interesante observar que esta aproximación razonable puede obtenerse hoy por medio de la serie binomial de Newton. queda claro que, en cierta forma, los babilonios dos mil años antes que los griegos, dominaban ya algunos aspectos del Álgebra.
PROPIEDADES
Potencias de igual base
Potencias de igual exponente
Potencia de un producto
Potencia de un cociente
Nota: Toda potencia elevada a exponente par es siempre positiva.
Nota: Toda potencia elevada a exponente impar es positiva si la base lo es y es negativa si la base lo es.
ECUACIONES EXPONENCIALES
Ecuación exponencial es aquella que tiene al menos una potencia con una o más incógnitas en su exponente. Para resolver una ecuación exponencial debemos reducir cada miembro a una potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades correspondientes. En consecuencia, como las potencias son iguales, sus exponentes también lo son, quedando así planteada la ecuación a resolver.
Ejemplo:
POTENCIAS DE BASE REAL Y EXPONENTE RACIONAL
Nota: El valor de una raíz en el conjunto de los números reales depende del signo de la cantidad subradical y del índice de la raíz.
Nota: siempre existe la raíz de un número real positivo, cualquiera sea su índice ( par o impar)
Nota: La raíz de un número real negativo, existe si y solo si su índice es impar
Nota: La raíz de índice par de un número real negativo no es un número real, es un número llamado imaginario.
PROPIEDADES
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejercicios:
Ejemplo:
RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN
Ejemplo:
Aplicación:
En toda fórmula o expresión algebraica en que se requiera despejar una incógnita que aparece elevada a algún exponente, se hace necesario aplicar la radicación, tal es el caso que se presenta en la fórmula del interés compuesto, si se desea conocer la tasa de interés.
Tasa de interés compuesto: La fórmula para determinar el monto final M, con un capital inicial C, durante n periodos de capitalización, a una tasa de interés i (tanto por uno) es:
Ejemplo:
Un capital de $100.000, colocado a interés compuesto durante 3 meses, se convirtió en $106.120. ¿A qué tasa de interés mensual fue colocado?
C = $ 100.000
M = $ 106.120
n = 3 meses
i = ?
Ejercicios:
Si la suma de $ 200.000 se ha convertido en $ 231.730 después de un año, con capitalización trimestral de intereses. Calcular la tasa de interés anual.
LOGARITMOS
Propiedades de los Logaritmos
Fórmula cambio de base
Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
Una ecuación exponencial es una igualdad en la que intervienen potencias, en uno o en ambos miembros, y que consta de una incógnita en al menos uno de sus exponentes.
En algunos casos, la igualdad de los exponentes da lugar a una ecuación de primer grado, en otros, la ecuación exponencial planteada conduce a la resolución de una ecuación de segundo grado.
Nota: en algunos casos no es posible igualar sus bases y son resueltos aplicando logaritmos y sus propiedades
Ejemplos
Ecuaciones logarítmicas con una incógnita
Se denomina ecuación logarítmica con una incógnita a una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde dicha incógnita forma parte de, al menos, un antilogaritmo.
Para resolver ecuaciones como estas, se aplican las propiedades de los logaritmos.
Ejercicio:
Analiza la solución de las siguientes ecuaciones e indica el o los errores que se cometieron:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
ARQUEOLOGÍA:
MATEMÁTICA FINANCIERA
ESTADÍSTICA
QUÍMICA
Calcular el ph de una solución de ácido clorhídrico (Hcl), de concentración 0,01 M (molar)
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