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CONCEPTOS DE POBLACION Y MUESTRA
POBLACION:
- Es la colección de todas las posibles mediciones u observaciones que pueden hacerse de una variable bajo estudio.
- Se clasifica en dos categorías:
- Finita: es aquella que incluye una cantidad limitada contable de observaciones, individuos o medidas. Siempre que sea posible alcanzar (contar) el número total de todas las posibles mediciones, se considera como finita la población.
- Infinita: es aquella que incluye un gran conjunto de observaciones o mediciones que no pueden alcanzarse por conteo. Al menos, hipotéticamente, no existe límite en cuanto al número de observaciones que el experimento puede generar.
MUESTRA
- Es un conjunto de mediciones u observaciones tomadas a partir de una población.
- Es un subconjunto de la población.
- Muestra aleatoria: se considera aleatoria siempre y cuando cada observación, medición o individuo de la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado.
TIPOS DE DATOS Y ESCALAS DE MEDIDA
- Variables:
- Son las características o lo que se estudia de cada individuo de la muestra. Ej: sexo, edad, peso, estatura, color de ojos, estado civil, temperatura, cantidad de nacimientos, presión, grosor, diámetro, ...
- Datos:
- Son los valores que toma la variable en cada caso.
TIPOS DE DATOS
- Cualitativos: son datos que solo toman valores asociados a las cualidades o atributos, clasificándolos en una de varias categorías, es decir, no son valores numéricos. Ej:
- Sexo: f/m.
- Hábito de fumar: Fumador/No fumador
- Color de ojos: negro, azul, marrón, …
- Religión: católica, evangélica, …
- Estado civil: soltero, casado, divorciado,…
- Cuantitativos: provienen de variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente. Ejemplos:
- Peso
- Edad
- Estatura
- Presión
- Humedad
- Intensidad de un sismo
- Cantidad de hermanos
ESCALAS DE MEDIDA
- Tipos de variables cuantitativas:
- Discretas: es aquella que solo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. Ejemplo: cantidad de hermanos.
- Continuas: es la variable que puede tomar cualquier valor en una escala continua. Ejemplo: cantidad de líquido contenido en un recipiente.
- Escala nominal: los datos se pueden agrupar en categorías que no mantienen una relación de orden entre si, por lo tanto no están definidas las operaciones lógicas (>, <, , ) sino solo las de igualdad o diferencia.
- Ejemplos: color de ojos, sexo, profesión, estado civil, religión.
- Escala ordinal: existe un cierto orden o jerarquía entre las categorías (>, <, , ).
- Ejemplos: grados militares, organigrama de una empresa, escalafón de los profesores universitarios, grados de disnea, estadiaje de un tumor.
- Escala de Intervalos: valores numéricos de las variables y además de las relaciones de orden (>, <, , ), se pueden establecer distancias, es decir, tienen sentido las operaciones de suma y resta. Tiene dos propiedades:
- Existe una unidad de medida que se mantiene constante para todos los valores que toma la variable.
- Existe un valor patrón u origen relativo que no significa la ausencia de valor en la variable.
- Escala de razón o proporción: es la más completa y general de todas las escalas. Se caracteriza porque los valores de la variable son números entre los cuales, además de las relaciones de orden (>, <, , ) y distancia (+,-), se pueden establecer múltiplos y proporciones.
- Ejemplos: peso, altura, volumen…
- Escala Absoluta: se caracteriza porque los valores que toma la variable son el resultado de contar y por lo tanto, está constituida por los enteros positivos y el cero.
- Ejemplos: número de hermanos, cantidad de autos vendidos, cantidad de accidentes en una intersección, cantidad de hijos,…
DATOS UNIVARIANTES y MULTIVARIANTES
- Univariantes o unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (Ej: edad de los alumnos de una clase).
- Bivariantes o bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población. (Ej: edad y estatura de los alumnos de una clase).
- Multivariantes o pluridimensionales: recogen información sobre tres ó más características. (Ej: edad, estatura y peso de los alumnos de una clase).
ORGANIZACION DE LOS DATOS
- Una vez que se ha realizado la recolección de los datos, se obtienen datos en bruto, los cuales rara vez son significativos sin una organización y tabulación.
- Una distribución de frecuencias: Es un arreglo de los datos que permite expresar la frecuencia de ocurrencias de las observaciones en cada una de las clases, mostrando el patrón de la distribución de manera más significativa.
- La Distribución de Frecuencias:
- Se recomienda su uso cuando se tienen grandes cantidades de datos (n).
- Su construcción requiere, en primer lugar, la selección de los límites de los intervalos de clase.
- Para definir la cantidad de intervalos de clase (k), se puede usar:
- La regla de Sturges: k = 1 + 3.3log(n)
- Determinar:
- Marca de Clase = (Li+Ls)/2.
- Frecuencia absoluta de la clase (ni).
- Frecuencia acumulada de la clase (Ni).
- Frecuencia relativa de la clase (hi):
- hi = ni/n
- Frecuencia relativa acumulada de la clase (Hi).
REPRESENTACION GRAFICA DE LOS DATOS
- Los gráficos permiten visualizar en forma global y rápida el comportamiento de los datos.
- Para datos cuantitativos agrupados en clases, comúnmente se utilizan tres gráficos:
- Histogramas.
- Polígono de frecuencias.
- Ojiva o Polígono de frecuencias acumuladas.
- Para datos cualitativos se usan:
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
CALCULO DE LA MEDIDA ARITMETICA
Donde: ci: punto medio de la clase i
ni: frecuencia absoluta de la clase i
MEDIANA
- Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones, una vez que han sido ordenados en forma ascendente o descendente.
- Divide al conjunto de datos en dos partes iguales.
CALCULO DE LA MEDIANA
- Para datos no agrupados:
- Si n es impar: posición donde se ubica la mediana es igual a (n+1)/2.
- Si n es par: (n+1)/2 no es entero, por lo tanto la mediana será igual al promedio de las dos posiciones centrales.
- Datos agrupados: clase mediana es la que contiene a la observación que ocupa la posición n/2.
Donde: Lm: límite inferior del intervalo (clase) donde se ubica la mediana.
Nm-1: frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana.
nm: frecuencia absoluta de la clase mediana.
Cm: amplitud del intervalo donde se ubica la mediana.
MODA
- Observación o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones.
- Un conjunto de datos puede ser unimodal, bimodal o multimodal.
- Es la única medida de tendencia central que se puede determinar para datos de tipo cualitativo.
CALCULO DE LA MODA
- Para datos no agrupados: es simplemente la observación que más se repite.
- Para datos agrupados:
Donde: Lm: límite inferior de la clase modal.
1: diferencia entre ni de la clase modal y la anterior.
2: diferencia entre ni de la clase modal y la posterior.
Cm: amplitud de la clase modal (clase de mayor frecuencia).
RELACION ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
- Cuando los datos son sesgados es mejor emplear la Me.
PROPIEDADES, VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MEDIA
Propiedades:
- La suma de las diferencias entre las media muestral y el valor de cada observación es cero.
- La media de una constante es la constante.
- Si todas las observaciones xi se multiplican por una constante, la media también se debe multiplicar por ese mismo valor constante.
Ventajas:
- Emplea en su cálculo toda la información disponible.
- Se expresa en las mismas unidades que la variable en estudio.
- Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos los valores observados.
- Es una valor único.
- Se trata de un concepto familiar para la mayoría de las personas.
- Es útil para llevar a cabo procedimientos estadísticos como la comparación de medias de varios conjuntos de datos.
Desventajas:
- Se ve adversamente afectada por valores extremos, perdiendo representatividad.
- Si el conjunto de datos es muy grande puede ser tedioso su cálculo manual.
- No se puede calcular para datos cualitativos.
- No se puede calcular para datos que tengan clases de extremo abierto, tanto superior como inferior.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MEDIANA
Ventajas:
- Fácil de calcular si el número de observaciones no es muy grande.
- No se ve influenciada por valores extremos, ya que solo influyen los valores centrales.
- Fácil de entender.
- Se puede calcular para cualquier tipos de datos cuantitativos, incluso los datos con clase de extremo abierto.
- Es la medida de tendencia central más representativa en el caso de variables que solo admiten la escala ordinal.
Desventajas:
- No utiliza en su “cálculo” toda la información disponible.
- No pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido.
- Hay que ordenar los datos antes de determinarla.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MODA
Ventajas:
- No requiere cálculos.
- Puede usarse para datos tanto cuantitativos como cualitativos.
- Fácil de interpretar.
- No se ve influenciada por valores extremos.
- Se puede calcular en clases de extremo abierto.
Desventajas:
- Para conjuntos pequeños de datos su valor no tiene casi utilidad, si es que de hecho existe. Solo tiene significado en el caso de una gran cantidad de datos.
- No utiliza toda la información disponible.
- No siempre existe, si los datos no se repiten.
- En ocasiones, el azar hace que una sola observación se no representativa se el valor más frecuente del conjunto de datos.
- Difícil de interpretar si los datos tiene 3 o más modas.
MEDIDAS DE DISPERCION, VARIACION O VARIABILIDAD.
- Son valores numéricos que indican o describen la forma en que las observaciones están dispersas o diseminadas, con respecto al valor central.
- Son importantes debido a que dos muestras de observaciones con el mismo valor central pueden tener una variabilidad muy distinta.
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- Rango.
- Varianza.
- Desviación Típica.
- Coeficiente de variación.
MEDIDAS DE DISPERSION
RANGO
Rango (amplitud o recorrido):
- Está determinado por los dos valores extremos de los datos muestrales, es simplemente la diferencia entre la mayor y menor observación.
- Es una medida de dispersión absoluta, ya que depende solamente de los datos y permite conocer la máxima dispersión.
- Casi no se emplea debido a que depende únicamente de dos valores.
- No proporciona una medida de variabilidad de las observaciones con respecto al centro de la distribución.
VARIANZA
- Es un valor numérico que mide el grado de dispersión relativa porque depende de la posición de los datos x1,x2,…,xn con respecto a la media.
- Es el promedio al cuadrado de las desviaciones de cada observación con respecto a la media.
- Notación: s2
- Si la varianza de un conjunto de observaciones es grande se dice que los datos tiene una mayor variabilidad que un conjunto de datos que tenga un varianza menor.
DESVIACION TIPICA
- Es la raíz cuadrada de la varianza.
- Notación: s.
COEFICIENTE DE VARIACION
- Es una medida de dispersión relativa que permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras de variables estadísticas diferentes.
- No tiene dimensiones.
- Notación: CV
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL RANGO
Ventajas:
- Útil cuando se quiere conocer la extensión de las variaciones extremas (valor máximo de la dispersión).
- Fácil de calcular.
Desventajas:
- No es una MD con respecto al centro de la distribución.
- Solo emplea dos valores en su cálculo.
- No se puede calcular en distribuciones de límite de clase abierto.
PROPIEDADES, VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA VARIANZA
Propiedades:
- Siempre es mayor o igual a cero y menor que infinito.
- La varianza de una constante es cero.
Ventajas:
- Es útil cuando se compara la variabilidad de dos o más conjuntos de datos.
- Utiliza toda la información disponible.
Desventajas:
- No proporciona ayuda inmediata cuando se estudia la dispersión de un solo conjunto de datos.
- Difícil de interpretar por tener sus unidades elevadas al cuadrado.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA DESVIACION TIPICA
Ventajas:
- Esta expresada en las mismas unidades que la variable en estudio.
- Utiliza todas las observaciones en su cálculo.
- Fácil de interpretar.
Desventajas:
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL COEFICIENTE DE VARIACION
Ventajas:
- Es la única MD que permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras de variables diferentes.
- Emplea toda la información disponible en su cálculo.
- Fácil de calcular.
MEDIDAS DE POSICION
PERCENTILES
Elemento ubicado en la posición k%:
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A partir de esto, se pueden definir los:
- Cuartiles
- Deciles
- Quintiles
- Etc.
CUARTILES
MEDIDAS DE FORMA
- Son medidas numéricas que permiten determinar la forma que tiene la curva de los datos, por lo tanto, sirven para corroborar lo que los gráficos muestran.
ASIMETRIA
- Permiten estudiar la forma de la curva, dependiendo de cómo se agrupan los datos.
- Coeficiente de Asimetría de Pearson:
- Fácil de calcular e interpretar.
- Cálculo:
- También podemos calcular:
- Coeficiente de Asimetría de Yule-Bowley:
KURTOSIS
- Miden si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra (zona central de la distribución).
- Se definen tres tipos de distribución según su grado de Kurtosis:
- Mesocúrtica: grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable.
- Leptocúrtica: grado de concentración elevado.
- Platicúrtica: grado de concentración reducido.
- Coeficiente de aplastamiento de Fisher
Donde:
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